Question

已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在点使得为定值.

【解析】

试题分析：（1）椭圆的标准方程是，则本题中有，已知三角形的面积为4，说明，这样可以求得；（2）存在性命题的解法都是假设存在，然后想办法求出.下面就是想法列出关于的方程，本题是直线与椭圆相交问题，一般方法是设交点为，把直线方程代入椭圆方程交化简为，则有，，而，就可用表示，这个值为定值，即与无关，分析此式可得出结论．．

试题解析：（1）设椭圆的短半轴为，半焦距为，

则，由得，

由解得,则椭圆方程为. （6分）

（2）由得

设由韦达定理得：

=

==， （10分）

当，即时，为定值，所以，存在点使得为定值（14分）．

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交问题．