Question

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．

（1）求第2行和第3行的通项公式和；

（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列；

（3）求关于（）的表达式．

Answer

(1),；（2）证明见解析，；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据定义，，因此

，；（2）由于第行的数依赖于第的数，因此我们可用数学归纳法证明；（3）设第行的公差为，

，而

，从而，即，于是有，由此可求得数列是公差为1的等差数列，而，由等差数列通项公式得，从而有．

试题解析：（1）

． （4分）

（2）由已知，第一行是等差数列，

假设第行是以为公差的等差数列，则由

（常数）

知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.

综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列． （9分）

（3）由于，所以， （11分）

所以，

由得， （13分）

于是，即， （15分）

又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，所以（）． （18分）

考点：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的判定；（3）由递推公式求通项公式．