Question

定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周距．

（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；

（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；

（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值．

Answer

（1）2；（2），，；（3）．

【解析】

试题分析：本题是一个新定义概念问题，解决问题的关键是按照新定义把问题转化为我们熟悉的问题，（1）就是找到使为常数，考虑到，因此取，则有，符合题设，即得；（2）在（1）中求解时，可以想到一次函数就是广义周期函数，因此取，再考虑到正弦函数的周期性，取，代入新定义式子计算可得；（3）首先，函数应该是广义周期函数，由新定义可求得一个广义周期是，周距，由于，可见在区间上取得最小值，在上取得最大值，而当时，由上面结论可得，最小值为，当时，，从而最大值为．

试题解析：（1），

，（非零常数）

所以函数是广义周期函数，它的周距为2． （4分）

（2）设，则

（非零常数） 所以是广义周期函数，且． （ 9分）

（3），

所以是广义周期函数，且 ． （10分）

设满足，

由得：

，

又知道在区间上的最小值是在上获得的，而，所以在上的最小值为． （ 13分）

由得得：

，

又知道在区间上的最大值是在上获得的，

而，所以在上的最大值为23． （16分）

考点：新定义，新定义概念的理解，新定义概念的应用与函数的最值．