Question

已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．直线与椭圆交于不同两点、(，都在轴上方) ，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），（2），（3）.

【解析】

试题分析：（1）本题椭圆方程的求法是轨迹法.这是由于题目没有明确直线是左准线，点是左焦点.不可利用待定系数法求解. 设，则，,化简得： 椭圆C的方程为：,（2）条件中角的关系一般化为斜率，利用坐标进行求解. 因为,所以，由题意得，，可求与椭圆交点，从而可得直线方程（3）直线过定点问题，一般先表示出直线, ,利用等量关系将两元消为一元. ，代入得：,.化简得，直线方程：直线总经过定点.

（1）设，则， （2分）

化简得： 椭圆C的方程为：（4分）

（2），

， （3分）

代入得：，，代入得

， （5分）

， （6分）

（3）解法一：由于，。 （1分）

设

设直线方程：，代入得：

（3分）

， （5分）

直线方程：

直线总经过定点 （6分）

解法二：由于，所以关于x轴的对称点在直线上。

设

设直线方程：，代入得：

，，令，得：

，

直线总经过定点

考点：轨迹法求椭圆方程，直线与椭圆位置关系