Question

若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列．

（1）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为，求的值；

（2）若为常数），且是级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列的前3项和；

（3）若既是级等差数列，也是级等差数列，证明：是等差数列．

Answer

（1）19，（2），（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）解新定义数列问题，关键从定义出发，建立等量关系. ，（2）本题化简是关键.因为是级等差比数列，所以，

，所以， 或

，最小正值等于，此时

，（3）充分性就是验证，易证，关键在于证必要性，可从两者中在交集（共同元素）出发. ,成等差数列, 因此既是中的项，也是中的项，既是中的项，也是中的项，可得它们公差的关系，进而推出三者结构统一，得出等差数列的结论.

（1） （2分）

（4分）

（2）是级等差数列，

（） （1分）（）

所以， 或

对恒成立时，

时，

（3分）

最小正值等于，此时

由于（）

（） （5分）

（） （6分）

（3）若为级等差数列，，则均成等差数列，（1分）

设等差数列的公差分别为

为级等差数列，，则成等差数列，设公差为

既是中的项，也是中的项， （3分）

既是中的项，也是中的项，

（5分）

设，则

所以（），

，（）

又，，所以， （7分）

（）

综合得：，显然为等差数列。 （8分）

考点：新定义数列，等比数列综合应用