Question

已知函数．

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）若函数在上为减函数，求的取值范围．

Answer

（1）当时，是奇函数；当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数，（2）.

【解析】

试题分析：（1）研究函数奇偶性，首先研究定义域，，在定义域前提下，研究相等或相反关系. 若，则，，，若，，，,（2）利用函数单调性定义研究函数单调性. 因函数在上为减函数，故对任意的，都有，即恒成立，恒成立，因为，所以.

【解析】
（1） （1分）

若为偶函数，则对任意的，都有，

即，，对任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即 ∴当时，是偶函数。 （4分）

若为奇函数，则对任意的，都有，

即，对任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即 ∴当时，是奇函数。 （6分）

∴当时，是奇函数；当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数。 （7分）

（2）因函数在上为减函数，故对任意的，都有， （2分）

即恒成立。 （4分）

由，知恒成立，即恒成立。

由于当时 （6分）

∴ （7分）

考点：函数奇偶性与单调性