Question

若正项数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等比数列．

（1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为，求的值；

（2）若为常数），且是级等比数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列的前项和；

（3）证明：为等比数列的充要条件是既为级等比数列，也为级等比数列．

Answer

（1）（2），0，（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）解新定义数列问题，关键从定义出发，建立等量关系. ,

,,（2）本题化简是关键.因为是级等比数列，所以

所以，最小正值等于，此时

，（3）充分性就是验证，易证，关键在于证必要性，可从两者中在交集（共同元素）出发. ,成等比数列, 因此既是中的项，也是中的项，既是中的项，也是中的项，可得它们公比的关系，进而推出三者结构统一，得出等比数列的结论.

解 （1） （2分）

（4分）

（2）是级等比数列，

（1分）

所以，

（3分）

最小正值等于，此时

，，

（5分）

（6分）

（3）充分性：若为等比数列，则

对一切成立，显然对成立。

所以既为级等比数列，也为级等比数列。 （2分）

必要性：若为级等比数列，，则均成等比数列，设等比数列的公比分别为，为级等比数列，，则成等比数列，设公比为 （3分）

既是中的项，也是中的项，

既是中的项，也是中的项，

（5分）

设，则

所以（），（），

又，，

所以， （7分）

（）

所以，，（）

综合得：，显然为等比数列。 （8分）

考点：新定义数列，等比数列综合应用