Question

我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：

已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值）．设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为．.

（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；

（2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；

（3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.

Answer

（1），，，（2），，（3）.

【解析】

试题分析：（1）由抛物线定义得：，即，因此抛物线方程为，焦点坐标，准线方程为．（2）因为D点为直线与抛物线的交点A，B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由，得，，点.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解，即由,得，得.由于、的横坐标相同，垂直于轴．（3）求三角形面积，必须观察结构，合理选用底边与高.本题将CD选为底,则为高，利用（1）求出，则.的面积与、无关，只与有关．

试题解析：（1），得，抛物线方程为． 2分

焦点坐标，准线方程为． 4分

（2）由，得，

点 6分

设切线方程为，由,得，，切点的横坐标为，得 8分

由于、的横坐标相同，垂直于轴． 10分

（3），． 12分

． 15分

的面积与、无关，只与有关． 16分

（本小题也可以求，切点到直线的距离，相应给分）

考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系