Question

如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.

（1）求直四棱柱的侧面积和体积；

（2）求证：平面.

Answer

(1),；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）要求直棱柱的体积，高已知为，而底面是直角梯形，面积易求，故体积为，侧面积为底面周长乘以高，因此关键是求出斜腰的长，在直角梯形中也易求得；（2）要证明线面垂直，就要证直线与平面内的两条相交直线垂直，在平面内首先有，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.

（1）底面直角梯形的面积， 2分

过作交于，在中，，，则， 4分

侧面积 6分

（2）过作交于，在中，，，则，，，

， 10分

，.又，平面. 12分

考点：（1）棱柱的体积与侧面积；（2）线面垂直.