Question

已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.

（1）对任意实数，求证：不成等比数列；

（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.

（3）设为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）当时，数列是等比数列；（3）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）证明否定性命题，可用反证法.如本题中可假设存在，使成等比数列，则可由来求，若求不出，说明假设错误，结论是不存在，，但这个式子化简后为，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比数列，由题意可先求出的递推关系，，这时还不能说明就是等比数列，还要求出，，只有当时，数列才是等比数列，因此当时，不是等比数列，当时，是等比数列.（3）存在性命题的解法，都是假设存在，然后求解，由（2）当时，，则满足题意，当时，，，即，即，

我们只要求出的最小值，从此式可看出最小值在为正奇数时取得，利用函数的单调性知时取最小值.

（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,

即矛盾.

所以不成等比数列. 4分

（2）因为

6分

又,

所以当，，(为正整数)，此时不是等比数列. 8分

当时，，由上式可知，∴(为正整数) ，

故当时，数列是以为首项，－为公比的等比数列. 10分

（3）由（2）知，当时，, 则，所以恒成立.

当，得，于是 13分

要使对任意正整数，都有成立，即

，令，

则当为正奇数时， 当为正偶数时，

∴的最大值为, 于是可得

综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有 18分

考点：（1）反证法；（2）等比数列的判定；（3）存在性命题，数列与不等式恒成立、函数（数列）的最小值交汇问题.