Question

已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.

（1）对任意实数，求证：不成等比数列；

（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.

Answer

（1）证明见解析；（2）当时，数列是等比数列.

【解析】

试题分析：（1）证明否定性命题，可用反证法.如本题中可假设存在，使成等比数列，则可由来求，若求不出，说明假设错误，结论是不存在，，但这个式子化简后为，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比数列，由题意可先求出的递推关系，，这时还不能说明就是等比数列，还要求出，，只有当时，数列才是等比数列，因此当时，不是等比数列，当时，是等比数列.

（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,

即矛盾.

所以不成等比数列. 6分

（2）因为

9分

又,

所以当，，(为正整数)，此时不是等比数列： 11分

当时，，由上式可知，∴(为正整数) ，

故当时，数列是以为首项，－为公比的等比数列. 14分

考点：（1）反证法；（2）等比数列的判定.