Question

已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、，以线段为底边作等腰三角形，其中顶点的坐标为，求△的面积．

Answer

（1） ；（2）．

【解析】

试题分析：(1)要确定椭圆方程，要确定两个参数的值，因此需要两个条件，题中有焦点为，

即，又椭圆过点，代入方程又得到一个关于的等式，联立可解得；(2) 直线和圆锥曲线相交问题，一般都是设出直线方程，本题直线的方程可设为，代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，再设交点为，则可得，，而条件等腰三角形的应用方法是底边边上的中线就是此边上的高，即取中点为，则．由此可求得从而得到坐标，最终求得的面积．

试题解析：（1）由已知得，因为椭圆过点，所以 （2分）

解得 （5分）

所以，椭圆的方程为． （6分）

（2）设直线的方程为， （1分）

由得 ① （2分）

因为直线与椭圆交于不同两点、，所以△，

所以． （3分）

设，，则，是方程①的两根，所以，

设的中点为，则，， （4分）

因为是等腰三角形的底边，所以，向量是直线的一个法向量，

所以∥向量，即∥向量，

所以，解得． （5分）

此时方程①变为，解得，，所以．

又到直线：的距离， （7分）

所以△的面积． （8分）

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．