Question

设数列，，，已知，，，，，（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对任意，为定值；

（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件与待求式，作差，可得，而，故数列是等比数列，通项公式可求；（2）考虑要证的表达式求和

，表面上看不出什么，但由，可得，由由，可以想象，是常数，因此可用数学归纳法证明；（3）由（1）（2）可解得，那么其前项和可用分组求和法求得，，这样我们就可求出，，相当于，由于，从而，一直是我们只要求得的最大值和的最小值，则就是，由此可求得的范围．

试题解析：（1）因为，，所以（）， （１分）

所以，，

， （2分）

即数列是首项为，公比为的等比数列， （3分）

所以． （4分）

（2）解法一：， （1分）

因为，所以，，

猜测：（）． （2分）

用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立； （3分）

②假设当（）时结论成立，即，那么当时，，即时结论也成立． （5分）

由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值．（6分）

解法二：， （1分）

所以，（4分）

而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值．（6分）

（3）由（1）、（2）知，所以，（1分）

所以，

所以， （2分）

由得，

因为，所以， （3分）

当为奇数时，随的增大而递增，且，

当为偶数时，随的增大而递减，且，

所以，的最大值为，的最小值为． （4分）

由，得，解得． （6分）

所以，所求实数的取值范围是．

考点：（1）等比数列的定义；（2）数列的通项；（3）数列与不等式恒成立问题．