Question

设是实数，函数（）．

（1）求证：函数不是奇函数；

（2）当时，求满足的的取值范围；

（3）求函数的值域（用表示）．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）当时，函数的值域是；

当时，函数的值域是；当时，函数的值域是．

【解析】

试题分析：（1）要证明函数不是奇函数，可用定义证，也可用其必要条件证，实质上证明否定性命题，只要举一个反例即能说明，本题上中，就说明不是奇函数了；（2）由于，函数式中的绝对值符号可去掉，即，本题就是解关于的不等式，变形得，由于恒成立，因此，即，这是应该分两种情况和分别求解；（3）本题要求函数的值域，一个要用换元法把指数式转化为一般的代数式，其次要能够对绝对值进行处理（实质是分类讨论，分段函数），设，则，原函数变为，由（1）的结论知当时，有，值域可求，当时函数为注意分段求解，每一个都是二次函数在给定区间上求值域，最后还要适当合并，得出结论．时，，是增函数，则有，当时，，还要分和两类情况讨论．

试题解析：（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，

从而，即，但是，矛盾．

所以不是奇函数．（也可用等证明） （4分）

（2）因为，，所以当时，，由，得，即，，（2分）

因为，所以，即． （3分）

①当，即时，恒成立，故的取值范围是；（4分）

②当，即时，由，得，故的取值范围是． （6分）

（3）令，则，原函数变成．

①若，则在上是增函数，值域为．（2分）

②若，则 （3分）

对于，有，当时，是关于的减函数，的取值范围是；当时，，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是． （5分)

对于，有是关于的增函数，

其取值范围． （7分）

综上，当时，函数的值域是；

当时，函数的值域是；

当时，函数的值域是． （8分）

考点：（1）奇函数的定义；（2）解含参数的不等式；（3）求函数值域．