Question

如果数列同时满足：（1）各项均不为，（2）存在常数k, 对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问：

（1）各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”？说明理由.

（2）若数列为“类等比数列”，且(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．

（3）若数列为“类等比数列”，且，(a，b为常数)，求数列的前n项之和；数列的前n项之和记为，求.

Answer

（1）是，（2），（3）

【解析】

试题分析：（1）解决新定义问题，关键根据“定义”列条件，根据“定义”判断. 因为为各项均不为的等差数列，故可设（d、b为常数），由得得为常数，所以各项均不为0的等差数列为“类等比数列”，（2）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手，再从充分性上证明：因为所以所以即得所以

而（3）由（2）易得，均为公比为的等比数列，，，

[解] （1）因为为各项均不为的等差数列，故可设（d、b为常数） 1分

由得 2分

得为常数，所以各项均不为0的等差数列为“类等比数列” 4分

（2）存在常数使 （只给出结论给2分）

（或从必要条件入手）

证明如下：因为所以

所以即 6分

由于此等式两边同除以

得 8分

所以

即当都有

因为所以

所以

所以对任意都有此时 10分

（3） 11分

均为公比为的等比数列 12分

14分

16分

18分

考点：新数列，数列通项，数列求和