Question

设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求，的标准方程；

（2）若与交于C、D两点，为的左焦点，求的最小值；

（3）点是上的两点，且，求证：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由.

Answer

（1） ： ；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）分析哪些点在椭圆上，哪些点在抛物线上，显然是椭圆的顶点，因此，从而点是椭圆上的点，另两点在抛物线上，代入它们的标准方程可求得其方程；（2）与的顶点都是，底在同一直线上，因此基、其面积之比为底的比，即，这样我们只要求出直线与已知两曲线相交弦长即可，直线与曲线交于两点，其弦长为，当然由于直线过圆锥曲线的焦点，弦长也可用焦半径公式表示；（3）从题意可看出，只有把，求出来，才能得出结论，为了求，，我们可设方程为，则方程为，这样，都能用表示出来，再计算可得其为定值，反之若，我们只能设方程为，方程为，分别求出，代入此式，得出，如果一定能得到1，则就一定有，否则就不一定有.

试题解析：（1）在椭圆上，在抛物线上，

： （4分）

（2）(理) =.

是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线的斜率存在时，

设：,，

联立方程，得，时恒成立.

（也可用焦半径公式得：） （5分）

联立方程，得，恒成立.

, （6分）

=. （8分）

②当直线的斜率不存在时，：，

此时，，，=. （9分）

所以，的最小值为. （10分）

（3）（理）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则=.（11分）

②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，

设

联立方程，解得； （12分）

同理，联立方程，解得；

（13分）

反之，对于上的任意两点，当时，

设，，易得

；，

由得，

即，亦即， （15分）

所以当为定值时，不成立 （16分）

“反之”的方法二：如果有，且不在坐标轴上，作关于坐标轴对称的射线与交于，，显然，与不可能同时成立．

考点：（1）椭圆、抛物线的标准方程；（2）直线与圆锥曲线相交弦长问题；（3）直线与圆锥曲线的综合问题.