Question

如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点，求

（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）正三棱锥的表面积．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）本题求异面直线所成的角，根据定义要把这个角作出来，一般平移其中一条，到与另一条相交为此，题中由于有的中点，因此我们以中点，就有，那么就是所求的角（或其补角）；（2）要求正三棱锥的表面积，必须求得斜高，由已知体积，可以先求得棱锥的高，取的中心，那么就是棱锥的高，下面只要根据正棱锥的性质（正棱锥中的直角三角形）应该能求得侧棱长或斜高，有了斜高，就能求得棱锥的侧面积了，再加上底面积，就得到表面积了．

试题解析：（1）过点作平面，垂足为，则为的中心，由得（理1分文2分）

又在正三角形中得，所以 （理2分文4分）

取中点，连结、，故∥，

所以就是异面直线与所成的角．（理4分文6分）

在△中，，， （理5分文8分）

所以． （理6分文10分）

所以，异面直线与所成的角的大小为． （理7分文12分）

（2）由可得正三棱锥的侧面积为

（理10分）

所以正三棱锥的表面积为

． （理12分）

考点：（1）异面直线所成的角；（2）棱锥的体积与表面积．