Question

已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．

（1）指出，并求与的关系式（）；

（2）求（）的通项公式，并指出点列，， ，， 向哪一点无限接近？说明理由；

（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和．

Answer

（1）；（2），；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由于，点，又都是抛物线上的点，代入进去变形可得到与的关系为；（2）由于只要求数列的奇数项，因此把（1）中得到的关系式中分别为代换，得到两个等式相减可得与的关系式，用累加法可求得通项公式，当时，，即得极限点为；（3）求出，是一个等比数列，其，于是，即，要求和，可先求和，而，

，由此可得结论.

试题解析：（1）． （1分）

设，，由题意得 ． （2分）

（4分）

（2）分别用、代换上式中的n得

() （6分）

又，， （8分）

因，所以点列，， ，， 向点无限接近. （10分）

（3）（理），． （11分）

，. （12分）

将所得的积排成如下矩阵：

，设矩阵的各项和为.

在矩阵的左下方补上相应的数可得

矩阵中第一行的各数和，

矩阵中第二行的各数和，

矩阵中第行的各数和， （15分）从而矩阵中的所有数之和为. （16分）所有可能的乘积的和

． （18分）

考点：(1)直线与抛物线相交，数列的递推关系；（2）数列的通项公式；（3）分组求和.