Question

在平面直角坐标系中，原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦．

(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标;

(2)若,求证：直线恒过定点；

(3)当时，设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切，求半径的取值范围？

Answer

（1）准线方程：，焦点坐标；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向，焦点为，准线方程为；（2）本题实质是直线与抛物线相交问题，一般是设直线方程为，与抛物线方程联立方程组，消去可得，再设，则有，，而，把刚才求出的代入可得的关系，本题中求得为常数，因此直线A一定过定点；（3）由（2）利用可求出的关系式，

，则，而直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即，由题意，作为关于的方程，此方程只有两解，设，则有，由于在时是减函数，且，即函数在时递减，在时递增，因此为了保证有两解，即只有一解，故要求.

试题解析：（1）准线方程： +2分 焦点坐标： +4分

（2）设直线方程为 ,

得 +6分

+8分

直线 过定点（0，2） +9分

（3） +11分

+12分 令

当时， 单调递减， +13分

当时， 单调递增， +14分

存在两解即一解 +16分

考点：（1）抛物线的性质；（2）直线与抛物线相交问题；（3）圆的切线的条数与方程的解.