已知
是方向分别与
轴和
轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量
的模等于 .
二阶行列式
的值是 . （其中
为虚数单位）
定义函数
(
为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数
与
是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数
的短距小于1;
(3)对于任意
是否存在实数
，使得函数
的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出
的取值范围；不存在，则说明理由？
在平面直角坐标系
中，原点为
,抛物线
的方程为
,线段
是抛物线
的一条动弦．
(1)求抛物线
的准线方程和焦点坐标
;
(2)若
,求证：直线
恒过定点；
(3)当
时，设圆
,若存在且仅存在两条动弦
,满足直线
与圆
相切，求半径
的取值范围？
数列
的首项
,
求数列的通项公式；
设的前
项和为
,若
的最小值为
，求
的取值范围？
如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池
内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形
,其中
位于边
上，
位于边
上.已知
米，
,设
,记
，当
越大，则污水净化效果越好.
(1)求
关于的函数解析式，并求定义域；
(2)求
最大值，并指出等号成立条件？
