Question

某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧、弧以及两条线段和围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米（），圆心角为弧度．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，当为何值时，取得最大值？

Answer

（1）；（2）参考解析

【解析】

试题分析：（1）由于花坛设计周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米（），圆心角为弧度.所以AD的弧长为，BC的弧长为.所以可得.即可得结论.

（2）由花坛两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．即可得所需费用的关系式. 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即可，再利用基本不等式即可求得结论.

试题解析：(1)设扇环的圆心角为，则，

所以，

(2) 花坛的面积为

．

装饰总费用为，

所以花坛的面积与装饰总费用的比，

令，则，当且仅当t=18时取等号，

此时．

答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．

考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.