Question

已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过焦点斜率为（）的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的右焦点，即.又长轴的左、右端点分别为,且，即可得，即可求出.从而得到椭圆的方程.

（2）由（1）可得假设直线AB的方程联立椭圆方程消去y即可得到一个关于x的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k的关系式.写出线段AB的中点坐标以及线段AB的垂直平分线的方程.即可得到点D的坐标.假设存在点E由于对称性本小题的问题等价转化为即可.所以表示出点E的坐标.代入椭圆方程根据的解得情况即可结论.

试题解析：（1）依题设，，则，.

由，解得，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）依题直线的方程为.

由得.

设,,弦的中点为，

则，，，，

所以.

直线的方程为，

令，得，则.

若四边形为菱形，则，.

所以.

若点在椭圆上，则.

整理得，解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.

考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.