Question

已知数列满足（为常数，）

（１）当时，求；

（２）当时，求的值；

（3）问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论．

Answer

（1）；（2）；（3）存在

【解析】

试题分析：（1）由，所以，.所以数列是一个等差数列.首项为2，公差为6，所以可求得通项公式.

（2）由，由于需要求的值，所以考虑数列的周期性，通过列举即可得到数列的周期为6.从而可求得的值.

（3）假设存在常数使得恒成立.由，向前递推一个式子，再利用将得到两个关于的等式，从而消去一个即可得到，或．由于.所以只有.再结合已知即可得到结论.

试题解析：（1）

（2） ，，，

，，，，，，，，

，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由有

，．……8分(理由和结论各2分)

因为 ，所以．

（3）假设存在常数，使恒成立．

由 ①，

及，有 ②

式减式得．

所以，或．

当，时，数列｛｝为常数数列，不满足要求．

由得，于是，即对于，都有，所以 ，从而 ．

所以存在常数，使恒成立．

考点：1.等差数列的判断.2.数列的周期性.3.数列恒成立问题.4.递推的思想.