Question

设函数，.

（1）解方程：；

（2）令，求证：

；

（3）若是实数集上的奇函数，且

对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）参考解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）由于函数，，所以解方程.通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.

（2）由于即得到.所以.所以两个一组的和为1，还剩中间一个.即可求得结论.

（3）由是实数集上的奇函数，可求得.又由于对任意实数恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数的单调性可得.函数在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.

试题解析：（1）即：，解得，

（2）.

因为，

所以，，

（3）因为是实数集上的奇函数，所以.

，在实数集上单调递增.

由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，

又因为在实数集上单调递增，所以

即对任意的都成立，

即对任意的都成立，.

考点：1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.