Question

数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：.

Answer

（1），；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由题中所给条件得，即，这是前项和与项的关系，我们可以利用把此式转化为数列的项的递推式，从而知数列是等比数列，通项易得，这样等差数列的，，由基本量法可求得等差数列的通项公式；（2）数列是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前项和应该用裂项相消法求得，而当求得后，所要证的不等式就显而易见成立了.

（1）∵是和的等差中项，∴

当时，，∴

当时，， ∴ ，即

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，

设的公差为，，，∴ ∴ 6分

（2）

∴

∵,∴ 12分

考点：（1）已知数列前项和与项的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式。