Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，．

（1）求证：AC⊥平面VOD；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）证明线面垂直，要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，首先是圆的直径，因此有，而分别是的中点，因此有，从而，再看已知条件，则点在平面内的射影为的外心，即点，即平面，从而有，因此有平面；（2）棱锥的体积，就是的体积，而棱锥的高就是，底面是，又是弧的中点，因此有，从而有，，底面积、体积均可求．

（1）∵VA=VB，O为AB中点，∴．

连接，在和中，,

∴≌VOC ，∴=VOC=90， ∴

∵, 平面ABC, 平面ABC, ∴VO⊥平面ABC．

∵平面ABC，∴．

又∵，是的中点，∴．

∵VO平面VOD，VD平面VOD，，∴ AC平面DOV．

（2）由（2）知是棱锥的高，且．

又∵点C是弧的中点，∴，且，

∴三角形的面积，

∴棱锥的体积为

故棱锥的体积为． 12分

考点：线面垂直，棱锥的体积．