Question

设椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为为，恰是抛物线C₂：的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且｜MF₂｜=．

（1）求C₁的方程；

（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若，求直线l的方程．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的性质知其焦点为，这是椭圆的右焦点，因此有，点是抛物线上的点，而，可由抛物线的定义或抛物线焦半径公式得点的横坐标为，这样点的纵坐标也能求得，而点又是椭圆上的点，可代入椭圆方程得到关于的一个方程，由此可求得，得方程；（2）由向量的坐标运算，根据，可得的坐标，于是直线的斜率可得，也即直线的斜率可得，于是可设直线的方程为（已求得），下面就采取处理直线与圆锥曲线相交问题的一般方法，设，由可得，而我们把直线方程代入椭圆方程，得到关于的二次方程，由此可得，，代入可求得．

（1） 设点M(x,y) (y>0) 由抛物线定义得|MF2|=1+x=，∴x=

又点M(x,y) 在抛物上所以y2=4,

，由椭圆定义

所以椭圆的方程是 4分

（2）

．

12分

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．