Question

在如图的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，∥，，，．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证直线与平面内的两条相交直线垂直，在题中已经有，另一条直线应该是，在中，由已知易证；（2）求直线与平面所成的角，要找到在平面内的射影，这里线面的交点没给出，垂直关系也比较难找，但由（1）的证明可得两两垂直，因此我们可以以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，用空间向量来求线面角，只要求出平面的一个法向量，那么向量与的夹角的余弦值等于直线与平面所成角的正弦值．

（1）证明：因为，

在△中，由余弦定理可得．所以．所以．

因为，，、平面，所以平面． -4分

（2）由（1）知，平面，平面，所以．

因为平面为正方形，所以．

因为，所以平面．

所以，，两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系．

因为是等腰梯形，且，

所以．

不妨设，则，，，

，，

考点：（1）线面垂直；（2）直线与平面所成的角．