Question

已知函数．

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）当时，曲线上总存在相异两点，，，使得曲线在、处的切线互相平行，求证：．

Answer

（1）讨论函数的单调性，我们可先求其导数，则不等式的解集区间就是函数的单调增区间，不等式的解集区间就是函数的单调减区间；（2）题设问题实际上就是已知

时，由（1）知化简变形得，要证明的是，利用基本不等式，这样有，故小于的最小值，而在上是增函数（可用导数或用增函数的定义证明），于是有，从而，解得．

【解析】

试题分析：

（1）函数的定义域为．

，

令，解得或．

∵，∴， ∴当时，；当时，．

故在上单调递减，在上单调递增． 6分

（2）由题意得，当时，且)

即 ∴．

整理得

令 所以在上单调递减，所以在上的最大值为 12分

考点：（1）导数与函数的单调性；（2）导数与切线斜率，基本不等式与函数的最值．