Question

菱形的边长为3，与交于，且．将菱形沿对角线折起得到三棱锥（如图），点是棱的中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）如证两平面垂直，一般根据判定定理证线面垂直，因此我们着重寻找这条直线，在图形中有，因此若要证的两平面已经垂直了，那么直线一定垂直于平面，故下面就是要证平面，按照刚才的分析，还需在平面内找一条直线与垂直，看已知，而，，可见，至此题设得证；（2）求三棱锥体积，要作棱锥的高，直接作不太方便，我们把棱锥的底转换下，，由（1）中知就是三梭锥的底面上的高，下面只要求出的面积即可.

试题解析：(1）由题意，,

因为,所以，． 3分

又因为菱形，所以．

因为,所以平面，

因为平面，所以平面平面． 6分

(2)三棱锥的体积等于三棱锥的体积．

由（1）知，平面，

所以为三棱锥的高． 8分

的面积为， 10分

所求体积等于． 12分

考点：面面垂直，几何体的体积.