Question

已知椭圆过点，且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求△的面积．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要求得，因此我们要寻找关于的两个等式，本题中有离心率，是一个等式，另一个是椭圆过点，即，再结合可解得，得到标准方程；（2）要求△的面积，应该先确定位置，也即确定直线，我们可以设的方程为，条件是以为底边的等腰三角形怎么应用？这个条件用得较多的是其性质，三线合一，即取的中点，则有，我们就用这个来求出参数的值，方法是设，的中点为，把直线方程代入椭圆方程，可得，从而求出用表示，再由可很快求得，以后就可得到点的坐标，求出面积.

试题解析：（1）由已知得. 1分

解得.又，所以椭圆G的方程为. 4分

（2）设直线l的方程为.

由得. ① 6分

设A、B的坐标分别为AB中点为E，

则. 8分

因为AB是等腰△的底边，

所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2. 10分

此时方程①为，解得，

所以，所以|AB|=.

此时，点P（－3，2）到直线AB：的距离，

所以△的面积S=. 12分

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合问题(相交弦长，点到直线距离，三角形面积等).