Question

如图：是⊙的直径，是弧的中点，⊥，垂足为，交于点.

（1）求证：=;

（2）若=4，⊙的半径为6，求的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证，只要证，一种方法这两个角能否放在一对全等三角形中，为此我们连接交于，由圆的性质知，这里就有，要证的角对应相等了，当然也可以证明RtΔCEO≌RtΔBMO，从而，也能得到，由于在圆中.我们还可以交圆于点，可得到到，那么等弧所对的圆周角相等，结论得证；（2）由（1）可知，下面在中可求得，在中可求得.

试题解析：（1）证法一:连接CO交BD于点M，如图1 1分

∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD

又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO 2分

∴∠OCE=∠OBM 3分

又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC 4分

∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF 5分

证法二：延长CE交圆O于点N，连接BN，如图2 1分

∵AB是直径且CN⊥AB于点E

∴∠NCB=∠CNB 2分

又∵弧CD=弧BC,∴∠CBD=∠CNB 3分

∴∠NCB=∠CBD

即∠FCB=∠CBF 4分

∴CF=BF 5分

（2）∵O,M分别为AB,BD的中点

∴OM=2=OE

∴EB=4 7分

在Rt△COE中， 9分

∴在Rt△CEB中， 10分

考点：(1)证明线段相等；(2)求线段的长.