Question

已知，不等式的解集为.

（1）求的值；

（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）2；（2）.

【解析】

试题分析：（1）我们首先求出不等式的解集，这个解集与相等，由此可求得；（2），一种方法，这个函数是分段函数，我们把它化为一般的分段函数表达式，以便求出它的最大(小)值，从而求得的最大值，得到的取值范围，也可应用绝对值不等式的性质，求得最大值.

试题解析：解法一：（1）由不等式｜2x－a｜－a≤2，得｜2x－a｜≤2＋a，

∵解集不空，∴2＋a≥0.

解不等式可得{x∣－1≤x≤1＋a}. 3分

∵－1≤x≤3，∴1＋a﹦3，即a=2. 5分

（2）记g(x)=f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜， 6分

4,（x≤－1）

则g(x)=－4x,（-1﹤x﹤1）. 8分

-4,（x≥1）

所以-4≤g(x)≤4，∴｜g(x)｜≤4,因此m≥4. 10分

解法二：∵f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜，

∵｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤｜(2x－2)－(2x＋2)｜=4. 7分

｜2x－2｜－｜2x＋2｜≥｜2x｜－2－（｜2x｜＋2）=－4. 9分

∴－4≤｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤4.

∴｜f(x)－f(x＋2)｜≤4.

∴m≥4. 10分

考点：(1)解绝对值不等式；(2)分段函数的最值，不等式恒成立问题.