Question

如图，在三棱锥中，是等边三角形，.

（1）证明:：；

（2）证明：；

（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先证明，从而得到；（2）取的中点，连接、，证明平面，利用直线与平面垂直的性质得到；（3）作，垂足为，连结，结合（2）中的结论证明平面，再求出的面积，最后利用分割法得到三棱锥的体积来进行计算.

试题解析：（1）因为是等边三角形，，

所以，可得；

（2）如图，取中点，连结、，则，，

所以平面，所以；

（3）作，垂足为，连结，

因为，所以，，

由已知，平面平面，故，

因为，所以、、都是等腰直角三角形.

由已知，得，的面积，

因为平面，

所以三棱锥的体积.

考点：1.全等三角形；2.直线与平面垂直的判定；3.分割法求锥体体积