Question

设函数.

（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设，若对任意、，有，求的取值范围.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用零点存在定理说明在区间内存在零点，然后利用函数的单调性来说明零点的唯一性；（2）先确定函数的解析式，将问题等价转化为“在上的最大值与最小值之差”，对二次函数的对称轴与区间的位置关系来进行分类讨论，从而求解出实数的取值范围.

试题解析：（1）当，，时，，

，在区间内存在零点，

又当时，，

在区间是单调递增的，在区间内存在唯一的零点；

（2）当时，，

对任意、都有等价于在上的最大值与最小值之差，

据此分类讨论如下：

（i）当时，即时，，与题设矛盾！

（ii）当，即时，恒成立；

（iii）当，即时，.

综上所述，.

考点：1.零点存在定理；2.分类讨论