Question

已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，点、分别在椭圆和上，，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）先根据题意设椭圆的方程为，再利用离心率相等求出的值，进而确定椭圆的方程；（2）根据条件得到、、三点共线，进而可以设直线的方程为，并将此直线方程与两椭圆的方程联立，求出点和的坐标，并结合这个条件得出两点坐标之间的等量关系，从而求出的值，最终求出直线的方程.

试题解析：（1）由已知可设椭圆的方程为，

其离心率为，故，解得，因此椭圆的方程为；

（2）设、两点的坐标分别为、，

由及（1）知，、、三点共线，且、不在轴上，因此可设直线的方程为，

将代入中，得，所以，

将代入，得，所以,

又由，得，即,

解得，故直线的方程为或.

考点：1.椭圆的方程；2.椭圆的离心率；3.直线与椭圆的位置关系