Question

在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，

①若，则满足条件的点的个数为________；

②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．

Answer

【解析】

试题分析：①时，,结合椭圆定义知，动点轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，为焦点的椭圆体.

⑴当椭圆体与有交点时，则由对称性知椭圆体必与，有交点.

设，则，，

因为，所以由于，所以此时有六个交点.

⑵当椭圆体与有交点时，则由对称性知椭圆体必与，有交点.

设，则，，

因为得所以由于，所以此时无有六个交点.

说明：当或时，椭圆体与正方体交于除外的六个顶点.

②若则动点不存在.若则动点轨迹为线段，满足条件的点的个数为2.因此即动点轨迹为一个以2为长轴长，正方体中心为中心，为焦点的椭圆体.由①分析可知，要使得满足条件的点的个数为6，须使得.

考点：椭圆的标准方程及其性质.