Question

已知，函数，．

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；

（Ⅱ）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围．

Answer

（1）当时，；当时，；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，由于与在处的切线互相垂直，所以两条切线相互垂直，即斜率相乘得-1，对和求导，将1代入得到两切线的斜率，列出方程得出a的值；第二问，先将“对任意的，且，都有转化为“对任意的，且，都有”，令，则原命题等价于在是增函数，对求导，判断导数的正负，决定函数的单调性.

试题解析：（Ⅰ），．

，．

依题意有，

可得，解得，或 ．

又因为，故，则有，

所以当时，；当时，． ６分

（Ⅱ）．

不妨设，

则等价于，

即．

设，

则对任意的，且，都有，

等价于在是增函数．

，

可得，

依题意有，对任意，有．

由，可得．……………13分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线.