Question

已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆方程；

（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求△面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的焦点、离心率的定义列出方程，解出基本量a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点斜式先设出直线的方程，令直线与椭圆方程联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到，，列出和的面积，从而得到的面积表达式，将，代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要讨论最大值成立的条件.

（1）依题意有，．

可得，．

故椭圆方程为． ５分

（2）直线的方程为．

联立方程组

消去并整理得． （*）

设，．

故，．

不妨设，显然均小于．

则，

．

．

等号成立时，可得，此时方程（*）为 ，满足．

所以面积的最大值为． 13分

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理.