Question

已知，函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：对于任意的，都有.

Answer

（1）单调递增区间为,单调递减区间为,；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对求导，利用单调递增，单调递减，通过解不等式，求出函数的单调区间；第二问，由于对于任意的，都有 对于任意的，都有，利用导数判断函数在上的单调性，数形结合求出的最小值和的最大值，进行比较，看是否符合.

（1）函数的定义域为,，

因为，

所以，当，或时，；

当时，．

所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,． 6分

（2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又，，

所以，当时，．

由，可得．

所以当时，函数在区间上是增函数，

所以，当时，．

所以，当时，

对于任意的，都有，，所以．

当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，

所以，当时，．

所以，当时，

对于任意的，都有，，所以．

综上，对于任意的，都有． 13分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.