Question

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．

（1）求，；

（2）若，求证：；

（3）当时，求证：存在，使得．

Answer

（1），；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题是一道新定义题，主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和转化能力.第一问，由于是a的各位数字的平方和，所以，；第二问，通过题干中给出的的定义设出的值，利用，得到的值，然后用作差法比较和的大小；第三问，由已知条件，由于且，得，由归纳推理得，再用数学归纳法证明一下，因此存在（），有，再分类讨论p、q的情况，得出结论.

（1）；

． 5分

（2）假设是一个位数（），

那么可以设，

其中且（），且．

由可得，．

所以．

因为，所以．

而，

所以，即． 9分

（3）由，即，可知．

同理，可知．

由数学归纳法知，对任意，有．

即对任意，有．

因此，存在（），有．

则，， ，，

可得对任意，，有．

设，即对任意，有．

若，取，，则有．

若，由，可得，

取，，则有． 14分

考点：归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想.