Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点．

（1）求证：平面；

（2）当为何值时，二面角为．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）再由等腰三角形中线即为高线可得，由平面可得，由为矩形可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得。再由等腰三角形中线即为高线可得，由线面垂直的判定定理可证得平面。（2）（空间向量法）以以为坐标原点，、、所在直线为，，轴建立空间直角坐标系。设。可得各点的坐标，从而可得个向量的坐标，根据向量垂直数量积为0先两个面的法向量.因为两法向量所成的角与二面角相等或互补，所以两法向量夹角的余弦值的绝对值等于。从而可得的值。

证明⑴ 因为平面，平面，

所以，因为是矩形，所以．因为，所以平面，

因为平面，所以，

因为，是中点，所以，

因为 所以平面．

⑵

【解析】
因为平面，，

所以以为坐标原点，、、所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，

则，，，．

所以，．

设平面的法向量为，则所以

令，得，，

所以．

平面的法向量为．

所以．

所以．

所以当时，二面角为．

考点：1线线垂直、线面垂直；2空间向量法在立体几何中的应用。