Question

已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围．

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）

【解析】

试题分析：（1）先求导，再令导数等于0，解导数大于0得函数的增区间，解导数小于0得函数的减区间。（2）可将问题转化为在上恒成立问题，即在上。先求导，因为，故可只讨论分子的正负问题，不妨令，讨论在区间上的正负问题，同时注意对的讨论。根据导数正得增区间导数负得减区间，再根据函数的单调性求函数的最值。

【解析】
⑴ 当时，，定义域为，

所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

⑵ 因为对任意，直线的倾斜角都是钝角，

所以对任意，直线的斜率小于0，即，，

即在区间上的最大值小于1，

，．

令

①当时，在上单调递减， ，显然成立，所以．

②当时，二次函数的图象开口向下，

且，，

，，故，在上单调递减，

故在上单调递减，，显然成立，所以．

⑶ 当时，二次函数的图象开口向上，且，．

所以，当时，． 当时，．

所以在区间内先递减再递增．

故在区间上的最大值只能是或．

所以 即 所以．

综上．

考点：1用导数研究函数的性质；2分类讨论思想。