Question

已知曲线.

（1）求曲线在点（）处的切线方程；

（2）若存在使得，求的取值范围.

Answer

（1）y=(a-1)x-1（2）(-∞,0)∪[e,+∞)

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，要求切线方程，需求出切点的纵坐标和切线的切率，将代入到中得到切点的纵坐标，将代入到中得到切线的斜率，最后利用点斜式写出切线的方程；第二问，当时，利用单调递增，单调递减，求出函数的最小值，使之大于等于0，当时，通过对的判断知函数在R上单调递减，而，存在使得成立，综合上述2种情况，得到结论.

试题解析：（1）因为，所以切点为（0，-1）.，，

所以曲线在点（）处的切线方程为：y=(a-1)x-1. -4分

（2）（1）当a>0时，令，则.

因为在上为减函数，

所以在内，在内，

所以在内是增函数，在内是减函数，

所以的最大值为

因为存在使得，所以，所以.

（2）当时，<0恒成立，函数在R上单调递减,

而，即存在使得，所以.

综上所述，的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞) 13分

考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值.