Question

如图，已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）求证：点M在直线上；

（3）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；

若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）存在.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用已知的离心率和左焦点坐标，得到基本量a,b,c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出点A、B、M的坐标和直线的方程，令直线的方程与椭圆的方程联立，利用所得方程，根据韦达定理得到，从而得到的坐标，由直线方程获得，验证是否在上即可；第三问，数形结合，根据已知条件将题目转化为C点坐标与M点坐标的关系，通过直线与椭圆联立消参，得到的坐标，令，解出k的值，k有解，即存在.

试题解析：（1）由题意可知，，于是.

所以，椭圆的标准方程为程. 3分

（2）设，，，

即.

所以，，，，

于是.

因为，所以在直线上. 8分

（3）由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，

若∆BDM的面积是∆ACM面积的3倍，

则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC中点，；

设点C的坐标为，则.因为，解得.

于是，解得，所以. 14分

考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、中点坐标公式.