Question

从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.

（1）写出数列的一个是等比数列的子列；

（2）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列

为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑推理能力.第一问，在数列的所有项中任意抽取几项，令其构成等比数列即可，但是至少抽取3项；第二问，分2种情况进行讨论：和，利用数列的单调性，先假设存在，在推导过程中找出矛盾即可.

试题解析：（1）（若只写出2,8,32三项也给满分）. 4分

（2）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为.因为

所以.

（1）当时，∈（0，1]，且数列是递减数列，

所以也为递减数列且∈（0，1]，,

令，得，

即存在使得，这与∈（0，1]矛盾.

（2）当时，≥1，数列是递增数数列，

所以也为递增数列且≥1，.

因为d为正的常数，且，

所以存在正整数m使得.

令，则，

因为=，

所以，即，但这与矛盾，说明假设不成立.

综上，所以数列不存在是无穷等差数列的子列. 13分

考点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质.