Question

在等差数列中，，．令，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式和；

（2）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有

的，的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2），.

【解析】

试题分析：（1）由题意，，，利用等差数列求出，，则，所以，利用裂项相消法求出；（2）先表示出，，，对于存在性问题，先假设存在，假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，表示出， 即 ，化简得 ，对按，讨论，存在满足条件的正整数、，此时，.

试题解析：（1）设数列的公差为，由得

解得，

∴ 3分

∵

∴

6分

（2）由（1）知，，，

假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，

则 ， 即 2分

经化简，得

∴

∴ （*） 3分

当时，（*）式可化为 ，所以 5分

当时，

又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解.

7分

综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.

考点：1.等差数列通项公式和裂项相消法求和；2.数列中存在性问题.