Question

已知正四棱柱中，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）（3）存在，

【解析】

试题分析：（1）可证平面，从而可得。（2）（空间向量法）以为原点建立空间直角坐标系，如图。根据边长可得各点的坐标，从而可得各向量的坐标，根据向量垂直数量积为0可求平面的法向量，由（1）知平面，所以即为平面的法向量，先求两法向量所成角的余弦值，但应注意两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，观察可知此二面角为钝角，所以此二面角的余弦值应为负数。（3）设为线段上一点,且，根据向量共线，可用表示出点坐标。分别求两个面的法向量，两面垂直，则两法向量也垂直，即数量积为0，从而可得的值，若所得在内说明存在点满足条件，否则说明不存在。

证明：（1）因为为正四棱柱，

所以平面，且为正方形. 1分

因为平面，

所以. 2分

因为,

所以平面. 3分

因为平面,

所以. 4分

（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.则

5分

所以.

设平面的法向量.

所以 .即 6分

令，则.

所以.

由（1）可知平面的法向量为. 7分

所以. 8分

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为. 9分

（3）设为线段上一点,且.

因为.

所以. 10分

即.

所以. 11分

设平面的法向量.

因为，

所以 .即. 12分

令，则.

所以. 13分

若平面平面，则.

即，解得.

所以当时，平面平面. 14分

考点：1线线垂直、线面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题。