Question

已知函数,.

（1）求的单调区间；

（2）当时，若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

Answer

（1）当时函数在上单调递减，在上单调递增；当时函数在上单调递增，在上单调递减。（2）

【解析】

试题分析：（1）先求导可得，讨论导数再其定义域内的正负，导数正得增区间，导数负得减区间。讨论导数符号问题时应注意对正负的讨论。（2）将问题转化为当时，对于任意的恒成立。令，先求导，再讨论导数的正负，从而得函数的单调性，根据单调性求函数的最值，使其最小值大于等于0即可。

【解析】
（1）函数的定义域为. 1分

因为， 2分

令，解得. 3分

当时， 随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增. 5分

当时， 随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递增，在上单调递减. 7分

（2）当时，对于任意的，都有成立，

即.

所以.

设.

因为, 8分

令，解得. 9分

因为，

所以随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递增，在上单调递减. 10分

所以. 11分

所以.

所以. 12分

所以的取值范围为. 13分

法二：

当时，对于任意的，都有成立，

即.

所以.

即. 8分

设.

因为,

令，解得. 9分

所以随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增. 10分

所以. 11分

所以.

所以. 12分

所以的取值范围为. 13分

考点：用导数研究函数的的性质。