Question

已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.

求证: 为定值.

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由点为短轴的一个端点可知，在直角三角形中已知，从而可得。因为，所以.（2）设过点的直线方程为：，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，设点即为方程的两根，可得根与系数的关系。由斜率公式可分别求得直线和直线的斜率，根据点斜式可得两直线方程。直线和直线分别与直线联立，求交点。根据中点坐标公式可得点坐标。根据斜率公式求。即可证得为定值。

【解析】
（1）由条件可知， 2分

故所求椭圆方程为. 4分

（2）设过点的直线方程为：. 5分

由可得： 6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.

设点，则

. 8分

因为直线的方程为：，

直线的方程为：， 9分

令，可得，，

所以点的坐标. 10分

直线的斜率为

12分

所以为定值. 13分

考点：1椭圆的简单性质及方程；2直线与椭圆的位置关系；3直线的斜率公式。